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Mappa concettuale. Equazioni secondo grado

Mappa concettuale: equazioni secondo grado

Principi di Equivalenza delle Disequazioni

Primo Principio di Equivalenza delle Disequazioni
Aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa espressione, si ottiene una disequazione equivalente.
Ciò implica che si può eliminare da entrambi i membri uno stesso termine oppure spostare un termine da un membro all'altro cambiandolo di segno (che equivale ad aggiungere il suo opposto).

Esempio

 3x+1 > -1+2x


aggiungo ad entrambi i membri il termine -2x ottenedo

 3x +1 -2x > -1 +2x -2x


e cioè

 x + 1 > -1

il che equivale ad aver spostato il termine 2x da destra sinistra cambiandolo di segno.
Sommo poi ad entrambi i membri il numero -1 ottenedo

 x + 1 -1 > -1-1


quindi

 x > -2

Secondo Principio di Equivalenza delle Disequazioni

Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una quantità positiva si ottiene una disequazione equivalente alla data; moltiplicando o dividendo per una quantità negativa, la disequazione sarà controversa alla data.
Ciò implica che si può cambiare il segno a tutti i termini di entrambi i membri, purché si cambi anche il verso della disequazione (in effetti, ciò equivale a moltiplicare per -1).

Esempio 1

 3x > 12


divido entrambi i membri per la quantità positiva 3 ottenendo

 \frac{3x}{3} > \frac{12}{3}


quindi

 x > 4

Esempio 2

 18 >  6x


quindi, applicamdo due volte il primo principio di equivalenza delle disequazioni ottengo

 -6x >  -18


moltiplico entrambi i membri per la quantità negativa -1 "per cambiare segno" ottenendo

 6x < 18

in quest'ultimo passaggio la disequazione ha cambiato di verso (da < a > ) perché abbiamo moltiplicato per la quantità negativa -1;
quindi, dividendo entrambi i membri per +6

 \frac{6x}{6} < \frac{18}{6} \Rightarrow x < 3

in quest'ultimo passaggio la disequazione non ha cambiato di verso perché abbiamo diviso per la quantità positiva +6.

Esempio 3

 -4x > 30


divido entrambi i membri per la quantità negativa -4 ottenendo

 \frac{-4x}{-4} < \frac{30}{-4}

in quest'ultimo passaggio la disequazione ha cambiato di verso (da > a < ) perché abbiamo diviso per la quantità negativa -4; quindi

 x < - \frac{15}{2}