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Mappa concettuale. Radicali

Mappa concettuale. Radicali

Mappa concettuale. Equazioni secondo grado

Mappa concettuale: equazioni secondo grado

Schema per la risoluzione di disequazioni di secondo grado

Sotto il link di uno schema utile per la risoluzione di disequazioni di secondo grado
Schema disequazioni secondo grado - PDF

Determinare equazione della retta dati due punti


    Determinare l'equazione di una retta date 2 punti P_1=(x_1;y_1) e P_2=(x_2;y_2)

Metodo 1
Si applica la formula

 \frac{y-y_2}{y_1-y_2}=\frac{x-x_2}{x_1-x_2}

Metodo 2
Si determina il coefficiente angolare m con al formula

 m= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

quindi si sostituisce, insieme ad uno dei due punti P_1 o P_2 , nell'equazione esplicita della retta ricavando q .

Esempio

Determinare l'equazione della retta passante per i due punti P_1=(2;-5) e P_2=(-3;10)
Soluzione con il metodo 1
Applicando la formula

 \frac{y-y_2}{y_1-y_2}=\frac{x-x_2}{x_1-x_2}


si ottiene

 \frac{y-10}{-5-10}=\frac{x-(-3)}{2-(-3)}

 \frac{y-10}{-15}=\frac{x+3}{5}

 \frac{y-10}{-15}=\frac{-3 \cdot (x+3)}{-15}

 y-10=-3x-9

quindi la retta ha equazione esplicita

 y=-3x+1

Soluzione con il metodo 2
Si determina m con la formula

 m= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

ottenendo

 m= \frac{10-(-5)}{-3-2} = \frac{15}{-5}=-3


Si sostituisce quindi nella forma esplicita della retta y=mx+q il valore di m appena determinato e il punto P_1 (analogamente sarebbe se si sostituisse P_2 ):

 -5 = -3 (2) +q

 -q = -6 +5

 q = +1

.
Si è determinato sia m=-3 che q=+1 e si hanno quindi i dati necessari per scrivere l'equazione:

 y = -3 x +1

Grafico di una parabola data la sua equazione

Data la parabola di equazione  y = x^2 + 3x -4 , disegnarla su un piano cartesiano determinando vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice e intersezioni con gli assi.

Svolgimento.
analizzando l'equazione noto che a=+1 ,  b=+3 , c=-4 .
Calcolo il \Delta = b^2-4ac= (+3)^2 - 4(+1)(-4)= 9+16=25 .
Fuoco:  F = (- \frac {b}{2a}; \frac{-\Delta +1}{4a})= (-\frac{3}{2}; -6)
Vertice:  V = (- \frac {b}{2a}; \frac{-\Delta}{4a})= (-\frac{3}{2}; - \frac{25}{4})
Asse di simmetria:  x=- \frac {b}{2a} \rightarrow  \; x=-\frac{3}{2}
Direttrice: y=\frac{-\Delta -1}{4a} \rightarrow y= -\frac{13}{2}
Intersezioni asse X: devo risolvere il sistema tra l'equazione della retta e l'asse x:
\begin{equation}
\begin{cases}
y = x^2 + 3x -4\\y=0
\end{cases}
\end{equation}
cioè si deve risolvere l'equazione di secondo grado  x^2 + 3x -4=0 che dà come risultato x_1= -4 ; \; x_2= +1 quindi i punti di intersezione con l'asse X sono : A(-4;0) \; B(1;0)
Intersezone con asse Y: La coordinata Y di intersezione è data dalla c dell'equazione, quindi l'intersezione è C(0;-4)
Quindi ho ora dati sufficienti per disegnare il grafico:
grafico parabola

Principi di Equivalenza delle Disequazioni

Primo Principio di Equivalenza delle Disequazioni
Aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa espressione, si ottiene una disequazione equivalente.
Ciò implica che si può eliminare da entrambi i membri uno stesso termine oppure spostare un termine da un membro all'altro cambiandolo di segno (che equivale ad aggiungere il suo opposto).

Esempio

 3x+1 > -1+2x


aggiungo ad entrambi i membri il termine -2x ottenedo

 3x +1 -2x > -1 +2x -2x


e cioè

 x + 1 > -1

il che equivale ad aver spostato il termine 2x da destra sinistra cambiandolo di segno.
Sommo poi ad entrambi i membri il numero -1 ottenedo

 x + 1 -1 > -1-1


quindi

 x > -2

Secondo Principio di Equivalenza delle Disequazioni

Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una quantità positiva si ottiene una disequazione equivalente alla data; moltiplicando o dividendo per una quantità negativa, la disequazione sarà controversa alla data.
Ciò implica che si può cambiare il segno a tutti i termini di entrambi i membri, purché si cambi anche il verso della disequazione (in effetti, ciò equivale a moltiplicare per -1).

Esempio 1

 3x > 12


divido entrambi i membri per la quantità positiva 3 ottenendo

 \frac{3x}{3} > \frac{12}{3}


quindi

 x > 4

Esempio 2

 18 >  6x


quindi, applicamdo due volte il primo principio di equivalenza delle disequazioni ottengo

 -6x >  -18


moltiplico entrambi i membri per la quantità negativa -1 "per cambiare segno" ottenendo

 6x < 18

in quest'ultimo passaggio la disequazione ha cambiato di verso (da < a > ) perché abbiamo moltiplicato per la quantità negativa -1;
quindi, dividendo entrambi i membri per +6

 \frac{6x}{6} < \frac{18}{6} \Rightarrow x < 3

in quest'ultimo passaggio la disequazione non ha cambiato di verso perché abbiamo diviso per la quantità positiva +6.

Esempio 3

 -4x > 30


divido entrambi i membri per la quantità negativa -4 ottenendo

 \frac{-4x}{-4} < \frac{30}{-4}

in quest'ultimo passaggio la disequazione ha cambiato di verso (da > a < ) perché abbiamo diviso per la quantità negativa -4; quindi

 x < - \frac{15}{2}

Disegnare la retta dalla sua equazione

Come disegnare una retta dalle sua equazione

Sia data la retta di equazione:

 y=m x +q

Per disegnarla si scelgono due numeri X_1 e X_2 a scelta da sostituire nell'equazione, e si ricavano le rispettive  Y_1 e  Y_2 . Ho ottenuto quindi i due punti P_1=(X_1,Y_1) e P_2=(X_2,Y_2) per i quali la retta passa.

 

Esempio

Rappresentare graficamente la retta di equazione   y=2x+1

Scelgo di dare a x il valore di 1 e sostituendolo nell'equazione abbiamo y=2\,(1)+1 e quindi y=3 , allora A ha coordinate A=(1;3)

A questo punto , ci serve almeno un altro punto.
Diamo a x il valore -1 e sostituendolo nell'equazione abbiamo y=2(-1)+1 , quindi y=-1 .
Il punto B ha quindi coordinate B=(-1;-1) .

retta